Büyük Sayılar: TREE(3) sayısı

Kaça kadar sayabilirsiniz? 1’den başlayın ve takatiniz tükenene kadar saymayı deneyin. Çoğu insan birkaç dakika sonra sıkılacak, bu anlamsız görevi sebepsiz yere ciddiye alanlar belki birkaç saat boyunca saymayı sürdüreceklerdir. Dünya rekorları kitabına adını yazdırmak isteyenler için ise bundan bir miktar daha çok azim gereklidir. Sayı saymakta dünya rekoru 2007 yılında ABD’li Jeremy Harper tarafından aralıksız şekilde (uyku ve yemek hariç) 3 ay boyunca sesli olarak 1’den 1.000.000‘a kadar saymasıyla kırılmıştır. Göreceğiniz üzere olağanüstü bir çaba sarf edilse dahi, pek büyük sayılara ulaşılması mümkün değildir. 1 milyon, trilyon, katrilyon… Bunlar belki sayması zor olan ama kağıt üzerinde ifade edilebilecek, küçük, küçücük hatta minnacık sayılardır. Birazdan üzerinde duracağımız sayıdan ise sonsuz kat küçükler. Bu sayı öylesine büyük bir sayı ki, bir zamanların en büyük sayılarından meşhur Graham sayısı bile TREE(3) sayısının yanında okyanusta damla bile değildir. Lisede gördüğümüz yollarla yani çarpma toplama hatta üslü sayılarla dahi ifade edilemez. Yalnızca çok büyük olduğunu ve maddi evrende böylesine büyük bir sayının herhangi şekilde zuhur edemeyeceğini idrak etmemiz mümkündür.

Nedir bu TREE sayısı?

Öncelikle bu sayıyı rakamlarla ifade edilebilen, sayılabilen sayılardan ayıran şeyin ne olduğunu anlatmam lazım. Sayılar günlük hayatta ondalık sistemde rakamlarla ifade edilir. Ancak TREE(3) sayısı gibi devasa büyüklükte sayıları bu yolla ifade etmek pratik olmayacaktır. Hatta tüm evreni bir tuval olarak kullansanız, var olan tüm atomlardan minik minik rakamlar yapsanız dahi bu sayıyı bu yolla ifade etmeniz imkansızdır. Yanına yaklaşamazsınız bile. O halde biz bu sayıya nasıl ulaşıyoruz? Sayının orijini Kruskal Ağaç Teoremi denilen, mekanizması basit ve anlaşılır olmakla birlikte üst düzey soyut matematikçilerin dahi sonucuna şaşırdığı bir teoremden kaynaklanır. Teorem aslında bir çeşit oyundur. Elimizde belirli sayıda kök vardır ve biz bunları birbiriyle bağlayarak ağacımsı yapılar inşa ederiz. Oyun tur bazlıdır. İlk turda tek bir renkte tek bir tohumumuz olur. İkinci turda iki farklı renk ve iki tohumumuz vardır ve böyle devam eder. Oyunun kuralı ise basittir. Tur sayısı kadar renkte ve sayıda tohum ile, önceki turlarda yaptığımız ağaç yapılarını içinde barındırmayan özgün ağaçlar yapmak. Şimdi birlikte yapalım ve oyunun kuralları kafanızda iyice netleşsin.

1.Tohum

Oyunumuzun birinci turunda yalnızca bir çeşit (kırmızı) ve yalnızca bir adet tohumumuz var. İkinci bir tohum alamadığımız için bu tur yalnızca bir ağaç yapısı – bu haliyle pek de ağaç denemez- ortaya çıkıyor. Bir tane nokta sadece. O halde TREE dizimizin ilk sayısı, yani TREE(1) sayısı 1’e eşit.

2.Tohum

İkinci turda ise iki farklı renkte iki adet tohumumuz var. Bunlardan ağaç yapıları yapmaya çalışacağız.

Oyunu oynamaya başladığımızda ilk turda yalnızca bir tohumumuz var. İkinci turda ise ilk turdaki yapıyı içermeyecek bir ağacı, en fazla 2 tohum ile (örnekte olduğu gibi daha az da kullanabiliriz) oluşturmalıyız. Üçüncü tura geldiğimizde ise ne çizersek çizelim ilk iki turda oluşturduğumuz ağaç yapılarını içeren bir ağaç yapısı oluyor. O halde bu denememizde üçüncü turda yandık. Ancak oyunun amacı en fazla ağacı oluşturabilmek olduğu için bir kez daha deneyelim.

Bu sefer ikinci turda başka bir yapı oluşturalım. Tek bir yeşil tohum yerine iki yeşil tohum kullanırsak bir sonraki turda oluşturacağımız tek tohumlu ağaç yapısı doğal olarak önceki iki tohumlu yapıyı içeremeyecektir. Bu turdan sonra ne yaparsak yapalım yanacağız. O yüzden oyunun ikinci turunda en fazla 3 yapı oluşturabiliriz. TREE(2) sayısı da bu sebeple 3’tür.

3.Tohum

Geldik üçüncü sayımıza. TREE(3) sayısı, üç farklı renkte ve her turda tur sayısına eşit sayıda tohum kullanarak yapabileceğimiz farklı ve birbirini ‘içermeyen’ ağaç yapılarının sayısına eşit olacak. Peki bu kaç? İşte yazımı kaleme almamı sağlayan şaşırtıcı gerçek tam burada yatıyor. Bu sayının kaç olduğunu ifade etmek mümkün değil. Bu örüntünün ilk sayısı 1; ikinci sayısı ise yalnızca 3 iken, üçüncü sayısı inanılmaz büyük. Sonsuz değil ama sonunu bulmak da maddi anlamda imkansız. Zaten bu sayıyı önemli yapan şey de bu. Sonunun olduğunu biliyor olmamız. Çünkü matematikte sonsuzu üretmek gayet kolay bir şey. 1 ile 2 arasında bile sonsuz sayı var. Bir matematik teoremini bu kadar şaşırtıcı yapan şey; onu bir çocuk mızıkçılığı misali ne söylersen bir fazlası demekten farklı olarak, sonlu olduğunu bildiğin ancak sonuna ulaşamayacağını anladığın bir kuyu yaratmasıdır. Elbette her sayıdan daha büyük sayı mevcuttur. Teoremin marifeti ise en büyük sayıyı ortaya koyması değil -ki bu mümkün değildir- ancak fazlasıyla kolay gözüken bir yolla dehşet verici büyüklükte bir sayı ortaya koymasıdır.